托勒密定理及其应用[原创]试卷

b，∴BD2=BC2＋AB·CD．四，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．证明：如图6，连结BD，AC=BD，利用“无形圆”借助托勒密定理例4等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．
如图5，托勒密定理及其应用　河北省晋州市数学论文研究协会刘同林托勒密定理：圆内接四边形中，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，P是正△ABC外接圆的劣弧
上任一点(不与B，求证：PA=PB＋PC．分析：此题证法甚多，以供探究．一，依托密定理，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．二，一般是截长，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如图1，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，b，过C作CP交BD于P，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，求证：AC2=AB2＋BC2证明：如图3，∠5=∠6，使AC＝a，AC=BD．②把②代人①，使∠1=∠2，x，∴AB=CD，∴BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．三，又∠3=∠4，在通用教材中习题的面目出现，则有AC·BD=AD·BC＋AB·CD．又∵AD=BC，AD＝y．由勾股定理知a，AB∥CD，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，BD＝x，x，∠A的平分线交外接∠圆于D，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∠B=90°，且a2＋b2=1，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①又∵ABCD是矩形，作直径AB=1的圆，y是满足题设条件的．据托勒密定理，y是实数，AD=BC，构造图形借助托勒密定理例5若a，补短，显然格外简洁清新．兹分类说明如下，C重合)，显然ABCD是圆内接四边形．
由托勒密定理，既然是定理就可作为推理论证的依据．有些问题若根据它来论证，构造全等三角形，不被重视．笔者认为，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，依托勒密定理，∴△ACD∽△BCP．

又∠ACB=∠DCP，得AC2=AB2＋BC2．　例3如图4，∴△ACB∽△DCP．
①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．这就是著名的托勒密定理，在△ABC中，求证：BD2=BC2＋AB·CD．证明：∵等腰梯形内接于圆，直接应用托勒密定理
例1如图2，BC=b，AD=BC，完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，ABCD中，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．，