不等式证明测高二数学试卷

可以作商，证明：∵
（当且仅当
时取等号）两边同加
，从重要不等式：
出发，然后比较法证明．解法1（1）当
时，求证：
分析：发现作差后变形，作商，∴
说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法)作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号，∴
∴
∴

又∵
，因为
所以


．综合（1）（2）知
．分析2直接作差，
，因为，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．典型例题四例4已知
，从而证明不等式．证明：
∵
，但有时要首先对代数式进行适当变形，典型例题一例1若
，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，将会很麻烦，要注意均值不等式的变形应用，
，判断与1的大小典型例题三例3对于任意实数
，
，所以
．说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，所要证明的不等式中有
，去掉绝对值符号，求证
分析显然这个题用比较法是不易证出的，求证
（当且仅当
时取等号）分析这个题若使用比较法来证明，且不必分而治之，这也常称为“凑倒数”的技巧．证明：∵
∴



∵
，证明
（
且
）．分析1用作差法来证明．需分为
和
两种情况，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，
，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明，展开后很复杂，以期达到可以“凑倒数”的目的．典型例题五例５已知
，若把
通分，同理：
，因为
，比如
，即：
（1）又：∵
（当且仅当
时取等号）两边同加
∴
∴
（2）由（1）和（2）可得
（当且仅当
时取等号）．说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，考虑用分析法来证明，判断比值与1的大小关系，所以


．（2）当
时，若使用综合法，明快．典型例题二例2设
，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2作差比较法．因为




，∴
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，求证：
＞0分析：此题直接入手不容易，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，由于分析法的过程可以用综合法来书写，
，判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，变形，其解法自然简捷，所以此题用两种方法来书写证明过程证明一：(分析法书写过程)为了证明
＞0只需要证明
＞
∵
∴
∴
＞0∴
＞
成立∴
＞0成立证明，