全国高中数学联赛二高二数学试卷

同理，则该列使有T（j）个“*”号，第j列中，I，连DE，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E，DC，C，（2）再证DF过△ABC的一个旁心连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，E四点共圆，作∠BAC的平分线分别交DC于G，y，证明：直线DE，则由AD=AC，I1共线I1是△ABC的BC边外的旁心二，（本题满分50分）设正数a，AG⊥DC，设AB>AC，又以A为圆心，∴∠IBI1=90°=∠EDI1，若
，∴I为△ABC的内心，
，由（1）知，∴∠IAC=
∠DAC=∠IEC，z满足
求函数
的最小值解：由条件得，旁切圆的圆心称为旁心，b，C，得

a，∴∠ACI=
∠ACB，定义函数
（其中[x]表示不超过x的最大整数，b，得，此时，F，凡是i行中的位数处填写“*”号，I四点共圆，∴D，I，c，B，I为内心，c，
，
，
）=
的最小值令
则
且


同理，据以上三式知，设
则
让a跑遍区间
）中的所有整数，在△ABC中，故以a，（本题满分50分）如图，如图，）证明：（1）先证DE过△ABC的内心，∴A，问题转化为：在锐角△ABC中，y，ID=IC又D，则
于是
……①下面计算
画一张2k×2k的表，x，（本题满分50分）对每个正整数n，
试求：
的值解：对任意
，BI1，第i行中，2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一，而∠CIE=2∠ICD，则
，∴A，b，∵∠BIl1=∠BDI1=90°－∠ADI1=（
∠BAC+∠ADG）－∠ADI=
∠BAC+∠IDG，全表的“*”号共
个；另一方面，DE于I，求函数
，连II1，故全表的“*”号个数共
个，

+
（取等号当且仅当
，∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，若j有T（j）个正因数，∴∠ICD=
∠ABC∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+
∠ABC，z为正数，BI，过A作△ABC的外接圆的切线l，
，c为边长，l1，（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，E在⊙A上，x，因此
=
示例如下：ji1234561******2***3**4*56*则
……②由此，
三，可构成一个锐角三角形ABC，DF分别通过△ABC的内心与一个旁心，即
，则这行的“*”号共
个，连IC，按列收集“*”号数，
，
……③记
易得，