极限的四则运算复习高三数学试卷

为数列
的前
项和，理科难度033）解：

分两种情况讨论；（1）当
时，
，除的数列极限的四则运算法则，一般要先进行变形，下面的计算是错误的：（1）原式
（2）原式
用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设
，减，分类讨论求极限例已知数列
，分母有理化，
，∴



（2）当
时，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，∴



说明：该题综合考查了数列的基础知识，分母同除以n的最高次幂即
，设
，分子，使之成为便于求极限的形式，求
．分析：把
用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：


或：逆用等比数列求和公式：原式

说明：要注意p是与n无关的正整数，从而化为
，再求极限．解：（1）原式


（2）原式

说明：当
时，除，公比分别为
，且
，由
可知，再求极限．解：（1）

（2）


说明：“
”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）
（2）
分析：含根式的函数求极限，当
时，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限：（1）
（2）
分析：第（1）题中，这种形式叫“∞－∞”型，不能将只适用有限个数列的加，∵
，乘，乘，因此
．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）
；（2）
（1992年全国高考试题，进行分子，照搬到无限个数列的加，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例已知
，故
，分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求
分析：当
时，要先求和，我们仍然从求极限入手来解决．解：
于是
，也可以将分子，恒等变形的能力，求
（1997年全国高考试题，减，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当
时，分式
与
都趋向于∞，经常用到的技巧是分母，即
．说明：在解题过程中，即为
型，需要设法化为我们熟悉的
型．解：

说明：对于这种含有根号的
型的极限，再求所得代数式的极限，分母都趋于无穷大，变形的一般方法是先通分，分母同除以x的最高次幂，变形的一般方法是分子，属于“
”型，
都是由正数组成的等比数列，运用了逆向思维，其中
，文科难度063）解：（1）原式

（2）原式

说明：该题计算时，∵
，所求极限相当于
型，超出了法则的适用范围，求实数m的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，
不是无限项，变成“
”型或“
”型，以利问题的解决，
的极限必为0，