中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测D高三数学试卷

故x+2f(
f(x))=
f(x)，AC交BD于P，
的内心依次为
求证:
四点共圆当且仅当四边形ABCD有内切圆2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题D解答学校：姓名：营员证号：求证:
中有无穷多个平方数引理:
有无穷多组正整数解证明:首先有
令
设(u，2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题D学校姓名营员证号一求证:
中有无穷多个平方数二求所有函数
，则
=
显然
，在零点连续，易知:f(kf(y))=kf(f(y))
f(ky+y+f(y))=f((k+1)y)+f(f(y))=f(ky+f(f(2y)))=
=
所以f((k+1)y)=f(ky)+f(y)
f(ky)=kf(y)

当
时，在零点连续，将x换成y，使得
时，则若
令
，v)是
的一组正整数解，证明:
四设ABCD为凸四边形，且
三如果素数p和自然数n满足
，故
有无穷多组正整数解引理得证取足够大的N，且
(*)解:令
（1）

而
所以f(0)=0由(1)有f(2f(y))=y+f(y)(2)在(*)中令
故f(f(y)=f(
f(y))+y+f(y)再在(*)中令y=
f(x)f(x+2f(f(
x))=f(f(
x))由(*)中f(x)为单射，有

(2')
(3)所以由(2)有f(4f(f(y)))=f(2f(2f(y)))=2f(y)+f(2f(y))=2f(y)+2f(f(y))=3f(y)+y另一方面f(4f(f(y))=f(2(y+f(y))=f(2y)+y+f(y)所以f(2y)=2f(y)(4)故由(*)及(4)有f(x+f(2y))=f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)=f(x)+2f(f(y))=f(x)+f(f(2y))所以f(x+f(y))=f(x)+f(f(y))(5)于是，
考虑




所以

为完全平方数证毕!求所有函数
，亦有，