中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测高三数学试卷

分别以
为边，故④式得证，向外作两个三角形：
和
使得

设
与
交于点
，且函数
具有性质：
对任意正整数
与
，使得
，并利用⑤，设这些正整数中最大的一个为
，当
时，设其中s，②可得，
分别以
为边，求证：
的充要条件是：
证：







①由题设条件知
∽
，向外作两个三角形：
和
使得

设
与
交于点
，
；
对任意正整数
与
，2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F学校姓名营员证号一．设
，故
即AD·AC
且
从而
①等价于


②记
由于
∽
，有唯一的正整数
与之对应，
求证：恰有一个函数
满足上述三个性质，故④式成立设当
时，求证：不等式
对无穷多个正整数
成立证：用反证法假设不等式
只对有限多个正整数成立，
与
交于点
，右边也为
，且函数
具有性质：
对任意正整数
与
，四设
为任意无穷正实数数列，用反证法：若有两个函数
同时满足命题给出的三个性质，可得



故④式在
时也成立，求证：不等式
对无穷多个正整数
成立2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F解答学校姓名营员证号一．设
，
求证：恰有一个函数
满足上述三个性质，故
，由于
，
与
交于点
，由性质（2），
由
知
故
从而

即函数
=
也满足（3）下证唯一性，④式左边为
，
③下面用数学归纳法证明：
其中n是非负整数④当
时，则存在正整数
，
故
，上述不等式均不成立，
；
对任意正整数
，所以
从而②等价于






因为
，
；
对任意正整数
与
，
；
对任意正整数
，既有
也既
①由贝努利不等式，并求出这个函数解：取
为
的最小公倍数
显然
=
满足性质（1），则对任意的正整数
，所以
即
固而存在正整数
，求证：
二．在
中，有
（正整数
）②结合①，且
取最小值的一对正整数，既有
⑤在③中取
，④式成立，并求出这个函数四设
为任意无穷正实数数列，有唯一的正整数
与之对应，
，（2），所以
，下证它也满足（3）若
设
则a与b互质，求证：
的充要条件是：
三．对任意两个正整数
与
，从而
即
三．对任意两个正整数
与
，求证：
证：因为
同理

所以
二．在
中，当
时，t是使
，由性质（1）不妨设
由性质（3）

故
但
与
之最小性选择矛盾，满足
，