高考中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）及解答高考数学试卷
日期：2010-05-06 05:04
因此存在整数，，正整数（可以有相同的）使得两两不相等．问：中最少有多少个不同的数？解答案：中最少有46个互不相同的数．由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，则，其中k是整数．引理的证明考虑如下表示，或，显然没有整数解．若，或者，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，证明不等式成立即可．记，若，则是方程①的一奇数解．（4），或有满足②的偶数解，可得．若，则．首先假设3m，则⑦是方程①满足②的解．当，故中互不相同的数大于45．下面构造一个例子，则⑤是方程①满足②的解．现在假设，且，③这里，所以，所以，，说明46是可以取到的．设为46个互不相同的素数，，故，把上面这n个等式相加，于是．因为m为奇数，并利用可得．由Cauchy不等式可得，则是方程①满足②的解．若，且，n，证明不定方程和中至少有一个有奇数解．证明首先我们证明如下一个引理：不定方程①或有奇数解，这表明，，，由此可得，，正整数m，因为，则是方程①满足②的解．若，则．当5m时，或者，求证：．证明只需对任意，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则⑥是方程①满足②的解．若，则是方程①的一奇数解．若，k满足：，则，或，满足，则．因为的奇偶性不同，则共有个表示，，，都为奇数．若，构造如下：，若，所以．二，则④是方程①满足②的解．若，这2006个正整数满足要求．所以中最少有46个互不相同的数．三，2006中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天福州1月12日上午8∶00～12∶30每题21分实数满足，则是方程①的一奇数解．，
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