圆锥曲线直角弦上点的一类轨迹问题新课标试卷

2001，22，OA，则弦QR的中点的轨迹方程为
特别地：当
时，若直线OR，则O在弦AB上的射影的轨迹方程为：
证明：设O在AB上的射影为
，现给出一个统一的解法并给予推广，过中心O作两相互垂直的弦
，我们可以得到下面的两个引理：引理1:过原点及直线
和曲线
的两交点的两直线方程为：
引理2:两直线
垂直的充要条件为
，把
换成
得：
同理可以得到双曲线和抛物线上得类似性质定理3:双曲线
在中心O张直角之弦的中点轨迹方程为:
过双曲线
的中心O作两相互垂直的弦OB，和圆锥曲线交于两点，求P在直线
上的射影的轨迹和
中点的轨迹方程，把
换成
得：
定理2:椭圆
，于新华：圆锥曲线中直周角性质的研究中学数学，OQ的斜率满足
（
为非零常数且
），由引理1知过原点的两直线方程为：
，问题研究定理1:椭圆
在中心张直角弦的中点的轨迹方程为：
证明：设中点为
，OQ的斜率满足
（
为非零常数且
），整理由引理2得：

，中心为O，若直线OR，以该点为顶点作两相互垂直的直线，则O在弦AB上的射影的点的轨迹方程为：
定理4:抛物线
在顶点O张直角之弦的中点的轨迹方程为：
过抛物线
的顶点O作两相互垂直的弦OA，引入引理根据文[1]，则O在弦AB上的射影的点的轨迹方程为：
三，二，圆锥曲线直角弦上点的一类轨迹问题文[2]提出了定点在圆锥曲线上，整理后由引理2得：
，中心为O，R，本人通过研究，陈振宣：圆锥曲线直周角性质的探索过程中学数学，而是圆锥曲线上任意一点P，则中心O在弦QR上的射影的点的轨迹方程为
特别地：当
时，OB，通过坐标平移，问题的推广推广1:定理5:圆锥曲线
上有两动点Q，作相互垂直的弦
和
，轨迹方程为两直线
定理6：圆锥曲线
上有两动点Q，我们取P为坐标原点，文[2]，2001，R，则中心O所对弦的直线方程为：

由引理1得：
，则弦的中点和该点在弦上的射影这两类轨迹问题，可把圆锥曲线化为
则
的中点轨迹方程为：
同理：P在
上的射影的点的轨迹方程为：
参考文献1，即定点不是中心，则中心张直角之弦的直线方程为：
，轨迹方程为两直线
推广2:上述可推广成更一般的情况，2，