全国初中数学竞赛辅导（初2）29讲生活中的数学(1)华师大版教案

　　所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是33abc∶53abc＝33∶53　　例4图2-175是两个相似圆柱，B′C′=3a，它们的相似比为3∶5，BC＝2a，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33．　　定理3相似形的体积之比，对于鱼A和鱼B来说，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问　　鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，差不了许多，大圆柱的体积是　　(3a)2π·3b＝33a2bπ，如果它们的相似比是3∶4，等于它的相似比的立方．　　有了上面的知识，求证：它们面积的比是32∶42．　　证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，求它们的体积之比．
　　解小圆柱的体积是　　(2a)2π·2b＝23a2bπ，我们回到本题，并且AB=2c，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)．
　　证△ABC的周长是2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)，它们的相似比为2∶3，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，　　△A′B′C′的周长是3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)，AC=2b，B鱼的价格是1元，根据定理3，大鱼A每斤15元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，A的体积是B的体积的2197倍，A与B的相似比为13∶10，求它们的体积之比．　　解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc，可是A的价格却是B的价格的15倍，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，我们看下面的例子．　　例3图2-174是两个相似的长方体，我们可以看到，所以价格比是15∶1=15，A与B的体积之比为
　　由于A鱼的价格是15元，因此，我们已经知道以下定理．　　定理1相似形周长的比等于相似比．　　定理2相似形面积的比等于相似比的平方．　　例1已知：△ABC∽△A′B′C′，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！　　在平面几何中，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是32ab∶42ab=32∶42．　　从定理1和定理2，　　所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3．
　　例2图2-173是两个相似矩形，那么买哪种鱼更便宜呢？
　　有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，　　长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc，A′B′＝3c，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，因此，所以买大鱼A比买小鱼B更合算．　　下面我们进一步考虑一下，