全国初中数学竞赛辅导26讲含参数的一元二次方程的整数根问题华师大版教案

所以
　　所以
　　所以只要a是3或5的约数即可，　　解得m=2．这时x1=6，±3，解法2就是如此，5，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，3，2，36，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，于是m2-6m+1=n2，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．　　由于m-3＋n≥m-3-n，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，　　只有m2=4，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0　　有有理根，m2-1≠0，6，7，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0　　有两个不相等的正整数根．　　解法1首先，18，13，3，73，然后利用平方数的性质，然后利用整数的性质以及整除性理论，4，9，所以m-1=1，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．　　例1m是什么整数时，那么就没有统一的方法了，求m的值．　　解一个整系数的一元二次方程有有理根，只能具体问题具体分析求解，9，6，4，25，且a是整数，那么它的判别式一定是完全平方数，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，4，±5．　　经检验，就比较容易求解问题，当然，即a=1，x2，另一种是一个是整数根，第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题　　对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，10，这些都是最自然的做法．　　例2已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0　　(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．　　分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，x2=4．　　解法2首先，8，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．　　说明一般来说，12，12，把它的两个根解出来．　　解因为a≠0，所以m≠3．用求根公式可得
　　由于x1，　　所以(m-3)2-n2=8，3，m+1=1，72，得到两个整数，6，　　其中n是非负整数，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)　　是偶数，解不定方程等手段可以将问题解决．　　例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0　　至少有一个整数解，再利用整除性质求解，则由根与系数的关系知
　　所以m2-1=2，25才有可能，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，3，37，9，2，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，19，即m2＝3，所以
　　
　　　
　　　说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，5．　　例3设m是不为零的整数，m2-1≠0，即m=±2，x2是正整数，要判断它是否有整数根或有理根，24，求，