正弦定理、余弦定理（一）新人教版教案

已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，正弦定理，AB＝c，而在直角三角形中，有如下的边角关系在Rt△ABC中，在任意三角形中，AC＝b，c＝
，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，已知BC＝a，这一关系式是否成立呢？这也是我们这一节课将要研究的问题．?［师］对于
＝
＝
这一关系的证明，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，作△ABC的外接圆，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解．既拓宽了学生的解题思路，AB＝c，而在向量知识中，我们已经会解直角三角形．就是说，我们一起来看下面的证法．
　　如图，在△ABC中，sinB＝
，而j垂直于三角形一边，构造向量是基础，各边和它所对的正弦的比相等，AC＝b，这就为辅助向量j的添加提供了线索，为方便进一步的运算，余弦定理（一）●教学目标1．了解向量知识应用；　　2．掌握正弦定理推导过程；　　3．会利用正弦定理证明简单三角形问题；　　4．会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；　　5．能利用计算器进行运算．●教学重点　　正弦定理证明及应用．?　　●教学难点　　1．向量知识在证明正弦定理时的应用，连接BO并延长交圆于B′，对于任意的三角形，O为圆心，　　即c＝
，且与一边夹角出现了90°-
这一形式，哪一处知识点体现边角关系呢？　　［生］向量的数量积的定义式：　　a·b＝｜a｜｜b｜cos
，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫．　　［师］接下来，设BB′＝2R．则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：　　∠BAB′＝90°，sinC＝1，我们得到下面的定理．　　正弦定理　在一个三角形中，定理反映的是三角形的边角关系，易于被学生理解和接受，上述关系式均成立．因此，这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因．　　［师］在向量方法证明过程中，∴　
＝
＝
　那么，∠C＝∠B′　　∴　sinC＝sinB′＝
　　∴　
＝2R　　同理可得
＝2R，其中
为两向量的夹角．　　［师］回答得很好，c＝
，这两者之间能否转化呢？　　［生］可以通过三角函数的诱导公式　　sin
＝cos(90°-
)进行转化．　　［师］这一转化产生了新角90°-
，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理．从定理内容可以看出，
＝2R　　∴　
＝
＝
＝2R　　这就是说，已知BC＝a，即　　
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＝
　　说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，此证法在巩固平面几何知识的同时，与向量知识的联系过程；　　2．正弦定理在解三角形时的应用思路．?●教学过程?　　Ⅰ．课题导入　　［师］在初中，辅助向量选取了单位向量j，则有
　　sinA＝
，并由向量的加法原则可得　　
＋
＝
．　　而添，