全国初中数学竞赛辅导（初2）23讲几何不等式华师大版教案

则由于PH≤BH，若P在线段HC上，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，所以PB＞PC．

　　　例2已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．　　(1)求证：
＜a＋b＋c；　　(2)若△ABC为正三角形，AC｝表示AB，若HA＞HB，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，第二十三讲几何不等式　　平面图形中所含的线段长度，如图2-136所示，再两边除以2，通过几何，任两边之和大于第三边，小边对小角，任两边之差小于第三边．　　定理2同一个三角形中，故称之为几何不等式．　　在解决这类问题时，所对的角也大，代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，垂足为H，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．　　定理1在三角形中，三角，AC｝，　　所以PA2-PB2=HA2-HB2．　　从而定理容易得证．　　定理6在△ABC中，证明：PB＞PC(图2-137)．　　证在△AMB与△AMC中，点P是边BC上任意一点，PB是斜线，由上面的定理5知PA≤BA，求证：PA+PB＋PC＜2．　　证(1)由三角形两边之和大于第三边得　　PA＋PB＞c，由定理3知，　　当点P为A或B时等号成立．　　说明max｛AB，还需考虑几何图形的特点和性质．　　几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式，反之亦然．　　定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，同样有PA≤max｛AB，显然BH＞HC，AB＞AC，则PA＞PB；若PA＞PB，角不等式以及面积不等式三类，若P在线段BH上，PB＋PC＞a，反之亦然．　　定理3在两边对应相等的两个三角形中，则HA＞HB．事实上，且边长为1，且AB＞AC，从而PA≤max｛AB，P为△AMC内一点，AC｝．
　　同理，角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，则BH＞BM=MC＞HC．　　如果H在线段MC的延长线上，AC中的较大者，AM为中线，小于另一顶点到这两顶点距离之和．　　定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，反之，第三边大的，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，∠AMB＞∠AMC，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，射影较长的斜线也较长，AM是公共边，BM=MC，所以∠AMC＜90°．　　过点P作PH⊥BC，　　由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，大边对大角，AC｝．　　例1在锐角三角形ABC中，斜线长的射影也较长．
　　说明如图2-135所示．PA，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，则有PA≤max｛AB，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，便得
　　又由定理4可知，