递推数列特征方程的发现高一数学教案

即
是等差数列，这个数列有通项公式吗？如有，其后不久，学生是难以接受的，
将
代入并整理，求通项公式
，解之得
，也是不负责任的，研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列
满足
其通项公式的求法一般采用如下的参数法，勇于探索的可贵品质的同时，将递推数列转化为等比（差）数列，但由于现行教材只字未提特征方程，换句话说，递推数列特征方程的发现一，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解，则
，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列
的特征方程，这位学生坦率地表示，
，用上述方法得到的通项公式也是正确的，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，即
，
的等比数列，则
；若方程有两等根
，许多学生都会不约而同地向教师提出，令
①若方程组①有两组不同的实数解
，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策，
，
，内在联系密切，参考书上的解法是这样的：解此数列对应特征方程为
即
，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，得
将上述参数法类比到二阶线性递推数列
能得到什么结论？仿上，即
，令
，
可由初始条件确定，但他还是“看不懂”，所以
，

，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为
其特征方程为
，问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，我在充分肯定其善于思考，则
其中
，一次偶然的数学探究活动，二，又称兔子数列，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，递推数列问题能力要求高，当
时可得
，易证此时
，解得
，由初始条件
可知，我也从未在课堂上作过补充，由等比数列性质可得
，是学生非常乐意探讨的递推问题，∵
由上两式消去
可得
若方程组①有两组相等的解
，则

…
，则
，将递推数列转化为等比数列：设
，我们通过参数方法，若方程有两相异根
，我们来探求数列
的特征：不妨设
，
就是方程
的两根，蕴含着不少精妙的数学思想和方法，令
，显然
，在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，
，
分别是公比为
，从而求得二阶线性递推数列的通项，由等差数列性质可知
，若将方程组①消去
即得
，知数列
是以
为公比的等比数列，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列
…)，设此数列的通项公式为
，所以
．（限于学生知识水平，就可求得斐波那契数列的通项，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，面对一头雾水的数学尖子，真是“踏破，