95空间向量及其运算（5）高二数学教案

（3）
（分配律），
，
，θ=60°在空间四边形OABC中，则
，使几何问题代数化，例题讲解（一）利用数量积解垂直问题在正方体
，作点
在
上的射影
，
则
＝

∵
∴

＝0即[
]
[
]＝0∴
∴
，求长方体的高
．解法一：∵
，【课题】空间向量及其运算（5）——两个向量的数量积(2)【教学目标】应用向量的数量积的性质解决有关证明和计算的问题，据此可以证明直线与直线的垂直在证明一对向量垂直时，往往用一组基底选表示这一对向量，则
叫做向量
在轴
上或在
上的正射影可以证明
的长度
．4，解：
，∵



∴
，利用数量积求夹角（异面直线所成的角）已知
，求异面直线
与
所成角的余弦值
解：设
，空间向量数量积的性质：（1）
．（2）
．（3）
．5，利用空间向量的有关结论来解决立体几何问题，大大降底了解题的思维难度，所求高
．解法二：设
，则
而







又
，∴

∴
∴
，求证：
，
在棱
上，又
，记作：
3，再考虑它们的数量积是否为0（2）证明空间线线垂直问题常用空间向量的数量积的性质，则称
与
互相垂直，即

．已知向量
和轴
，
，作
，则
叫做
的数量积，当△ABC面积最大时，记作
；且规定
，记作：
，当△AOB的面积最大时，向量的模：设
，AB=6，∴
，且
，
是
上与
同方向的单位向量，【教学过程】复习引入1，AC=4，空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
，二，S△ABC最大?此时
因此，异面直线
与
所成角的余弦值为
．（三）数量积的综合应用在棱长为1的正方体
中，向量的数量积：已知向量
，证明：设
，BC=5，
为
与
的交点，
的中点，所以，2，显然有
；若
，【教学重点】两个向量的数量积的计算方法及其运用，在空间任取一点
，则
叫做向量
与
的夹角，∴
，得?
∴S△ABC=


当
时，求OA与BC的夹角的余弦值，
的中点，



所以OA与BC的夹角的余弦值为
已知
是边长为
的正三角形ABC所在平面外一点，
为
的中点，记作
，
，
，
分别是
，【教学难点】把立体几何问题转化为向量问题，
，
分别是
中点，空间向量数量积运算律：（1）
．（2）
（交换律），
，
如图长方体
中，作点
在
上的射影
，
为
与
的交点，求
与
的夹角θ解：设∠AOB=θ?∵
∴
由余弦定理，OA=8，即所求高
．【注】(1)向量
垂直于向量
的充要条件是
，
，则有向线段
的长度叫做向量
的长度或模，（1）求证：
；（2）求
所成角的余弦；（3）求
的长
解：设，