最值问题的几何求解高考数学教案

最小．解：依题意知，在y轴和直线
上分别找一点P和N,它表示过直线
和
交点的直线．解方程组
得两直线交点为
，当三点共线时
最小，这种以距离为背景的题型时有出现，解得
（舍去）或
，∴
．评注：本题通过挖掘代数式的几何意义，　　∴
．　　例2　已知点
，此时
，所以
的周长等于
，　　∴它是点
和点
之间的距离，我们会发现它表示过定点
的一条直线，且
的最小值为
，整理得
，平方得
，∵
，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，所以点
应为直线
和y轴与直线
的交点．　　解：作点
关于y轴和直线
的对称点
，使得
的周长最小．　　分析：作点
关于y轴和直线
的对称点
，∵
，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题．例3　已知点
在直线
上，由两点式得
，∴
，即此时
取得最大值
．解：
可化为
，求m的值．解：∵
，则点
的坐标分别为
，它的最小值就是点
到直线
的距离，请同学们注意训练和总结．例4　求点
到直线
的距离
的最大值．分析：对直线方程
整理后，当且仅当
时取等号，由点到直线的距离公式可得
，
，并求最小值．分析：根据三个点横坐标的特点可知，将点点距转化成了点线距，
最小，则
，所以
，因为点线之间垂线段最短，问m为何值时，易得它和y轴和直线
的交点坐标分别为
．即使得
周长最小的点P和N的坐标分别为
．评注：本题利用对称思想为线段找到了“替身”，当且仅当它们共线时，∴
，
，此时三个点分别为
，最值问题的几何求解　　本节的最值问题一般利用两个几何性质求解：1．三角形两边之和大于第三边（即两点之间线段最短），当
时
取最大值
，当且仅当
三点共线时取最小值，即直线
恒过定点
，即为直线
的方程，两边之差小于第三边；2．点线之间垂线段最短．例1　已知三点
，整理得
，∴
的最大值为
．，