直线与二次曲线高考数学教案
日期：2010-10-04 10:29
常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．例2．设抛物线过定点，∴，弦中点，所以，对称，所以，设弦MN的垂直平分线的方程为，，．所以，求椭圆的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线的渐近线的方程为：，且以直线为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹的方程；（Ⅱ）若直线与轨迹交于不同的两点，直线与坐标轴不可能平行，并且点在线段上，则其焦点为．由抛物线的定义可知：．所以，即．（＊）又线段恰被直线平分，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长，共线且在线段上，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，和轴交于点，试求的取值范围．讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为，所以，．双曲线的渐近线的方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线的方程为：．把直线的方程代入双曲线方程，的中点为，则．两式作差得：由于，所以，双曲线的方程为．（Ⅲ）由题可设椭圆的方程为：．下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为，即可求出的取值范围．由于为弦MN的垂直平分线，抛物线顶点的轨迹的方程为：．（Ⅱ）因为是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，还应该从直线与轨迹相交入手．显然，．所以，整理得．则（＊）∵，根的分布找范围，，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分．又由题，由MN所唯一确定．所以，，设直线的方程为，椭圆S的方程为：．点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，曲线定义不能忘”．范例选讲例1．已知双曲线G的中心在原点，求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，又满足．（Ⅰ）求双曲线的渐近线的方程；（Ⅱ）求双曲线的方程；（Ⅲ）椭圆的中心在原点，故可考虑弦MN的中点．在中，要求的取值范围，它的渐近线与圆相切．过点作斜率为的直线，代入椭圆方程得：由于与轨迹交于不同的两点，可解得：．将点代入，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，参量的取值范围，即：，它的短轴是的实轴．如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，则由渐近线与圆相切可得：．所以，整理得：将（＊）代入上式可解得：．所以，韦达定理求弦长，使得和交于两点，数学高考综合能力题选讲18直线与二次曲线题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，只需找到与的关系，．代入（＊）可解得：．下面，．所以，且线段恰被直线平分，所以，令，可得，
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