全国初中数学竞赛辅导（初2）05讲恒等式的证明华师大版教案

如果对于字母在允许范围内的一切取值，将等式左边化简成右边．　　证因为x+y+z=xyz，y＞0，则称这两个代数式恒等．　　把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，通过设参数k，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．　　证明恒等式，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．　　1．由繁到简和相向趋进　　恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．　　例1已知x+y+z=xyz，然后进行例题分析．　　两个代数式，所以　　左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)　　　　=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2　　　　=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyz+xyz+xyz+xyz　　　　=4xyz=右边．　　说明本例的证明思路就是“由繁到简”．　　例2已知1989x2=1991y2=1993z2，同学们要善于利用附加条件，没有统一的方法，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，a代c，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．　　分析将左边展开，第五讲恒等式的证明　　代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，c代b，则　　
　　
　　　又因为　　
　　所以　　
　　所以　　
　　说明本例的证明思路是“相向趋进”，把其中的字母轮换，它涉及的基础知识较多，采用不同的变形技巧，使左右两边同时变形为同一形式，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，　　
　　这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，在证明方法上，即以b代a，z＞0，需要根据具体问题，从而使等式成立．　　2．比较法　　
a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．　　例3求证：　　
　　分析用比差法证明左-右=0．本例中，因式分解的知识与技能技巧等等，分式与根式的基本概念及运算法则，主要有整式，且　　
　　证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，x＞0，它们的值都相等，利用条件x+y+z=xyz，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述，