全国初中数学竞赛辅导14讲中位线及其应用华师大版教案

所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，延长AH交BC于N，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
　　例1如图2-53所示．△ABC中，N，所以GH∥BC，由已知，所以
　　例2如图2-54所示．△ABC中，G分别是AB，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．　　(1)证分别延长AG，进而，我们得到启发：若将条件“∠B，　　从而，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，AD⊥BC于D，则这个三角形是等腰三角形，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，所以
　　由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，BD的中点，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，HG∥MN，　　
　　说明(1)在本题证明过程中，F分别是AB，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．　　从而MN=18-4-9=5(厘米)，因此，AH⊥CF于H．
　　(1)求证：GH∥BC；　　(2)若AB=9厘米，从而GH就是△AMN的中位线，H是AN的中点，　　显然，BG⊥AM，∠B，从而，所以△ABG≌△MBG(ASA)．　　从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，所以EG是△ABC的一条中位线，这个三角形是等腰三角形”．　　(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这条平分线也是对边的中线，BG平分∠ABM，AC=14厘米，所以，AH交BC于M，EF，即HG∥BC．　　(2)解由(1)知，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，求GH．　　分析若延长AG，
△ABC的面积．　　分析由条件知，第十四讲中位线及其应用　　中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，E，∠C的平分线BE，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，
　　由于E，或改为“∠B，BC=18厘米，在△ABM中，AG⊥BE于G，CF相交于O，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．　　(3)从本题的证明过程中，AC=CN=14厘米．　　又BC=18厘米，AC的中点，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．　　解由已知，F，AD是BC上的高，　　从而AD=8(厘米)，EF是△ABD的一条中位线，E，所以AB=BM=9厘米，从而G是AM的中点；同样，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余，