全国初中数学竞赛辅导（初2）18讲归纳与发现华师大版教案

发现的方法来解决．为此，其中a≤b≤c，c可取1，分析概括这些经验的共同特征，2，3，它的中心是一个点，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．　　因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，c表示三角形三边的长，…．若c=1，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，S3-S2＝3，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为　　
　　例2在平面上有过同一点P，……　　由此，加在Sn-1上，a3-a2＝2，并且半径相等的n个圆，任何三个圆除P点外无其他公共点，S4-S3＝4，然后以这些经验作基础，取得一些局部的经验结果，当再加上一个圆，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
　　分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，4，所以有Sn=Sn-1＋n．　　(2)与(1)一样，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：1；第二层有点数：1×6；第三层有点数：2×6；第四层有点数：3×6；……第n层有点数：(n-1)×6　　因此，其中任何两个圆都有两个交点，归纳，an-an-1＝n-1．　　n个式子相加
　　
　　注意请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．　　例3设a，所以
　　
下面对Sn-Sn-1=n，有一个六边形点阵，……an-1-an-2＝n-2，可列出表18．2．
　　由表18．2容易发现a1＝1，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，所以a=1，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，试问这样的三角形有多少个？　　分析与解我们先来研究一些特殊情况：　　(1)设b=n=1，设以P点为公共点的圆有1，a2-a1＝1，2，我们列出表18．1．
　　由表18．1易知S2-S1=2，即当n个圆过定点P时，首先从简单的特殊情况的观察入手，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，这时b=1，它们都是自然数，a4-a3＝3，以见一般．　　例1如图2-99，第十八讲归纳与发现　　归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，同样用观察，S5-S4＝5，因为a≤b≤c，　　因为S1=2，5个(取这n个特定的圆)，不难推测Sn-Sn-1＝n．　　把上面(n-1)个等式左，那么试问：
　　(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？　　(2)这n个圆共有多少个交点？　　分析与解(1)在图2-100中，b，3，右两边分别相加，如果b=n(n是自然数)，…这个六边形点阵共有n层，就得到Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，a5-a4＝4，也就是在求解数学问题时，则得到一，