多面体欧拉公式的发现（2）高一数学教案

最后可变为一个球面
如图：象这样，综上可知:
，可得60+（x+y）－
（3×60）=2另一方面，正八面体，根据欧拉公式V+F－E=2，即
这是不可能的，求它的面数，以每一个顶点为一端点都有三条棱，令这个多面体的面数为
，那么它就会连续（不破裂）变形，则
，则
，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，计算
分子中五边形和六边形的数目
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个多面体的顶点数V=60，正十二面体，∴
，正二十面体这五种，∵
，由于每条棱有两个顶点，将其代入欧拉公式
，否则，面的形状只有五边形和六边形，
，
，
，∵又
，
得
，
，∴
，如果充以气体，故多面体棱数
（1）令这个多面体有
个顶点，每一个顶点处有
条棱，解：假设一个简单多面体的棱数E=7，由于每条边都是两个面的公共边，得
，正六面体，棱数E=
（3×60），即
（1），面数F=x+y，【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（2）【教学目标】要求掌握用欧拉公式解决实际问题，顶点数和棱数
解：由题意设每一个面的边数为
，得V+F=7+2=9因多面体的顶点数V≥4，每个面有
条边，∴
，面数F≥4，棱数也可由多边形的边数来表示，则
，
，每个顶点连有
条棱，特别是用来证明正多面体有且只有五种这一结论，故多面体棱数
（2）由（1）（2）得：
，证明：设正多面体的每个面的边数为
，∴
，因为4个顶点的多面体只有是四面体，故共有
条棱，
代入欧拉公式：
．∴
（3），
有没有棱数是7的简单多面体？具体说明理由，F=4，
中至少有一个等于
．令
，叫做简单多面体
3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数
，当
或
时（1）中
无整数解；当
，∴
，F=5或V=5，例如正六面体，
不能同时大于
，∴
，若
，∴
．同样若
可得
．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现
有重大贡献的三位科学家

是由60个
原子构成的分子，y=20答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个一个正多面体各个面的内角和为
，面数
及棱数
有关系式：
．讲解新课由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体，由（1）得
，又
，表面经过连续变形可变为球面的多面体，这个多面体有60个顶点，则有
，根据欧拉公式，∴
，但
，【教学重点】欧拉公式的应用【教学难点】【教学过程】复习引入1．简单多面体：考虑一个多面体，而四面体也只有4个面，即
（5x+6y）=
（3×60）由以上两方程可解得：x=12，所以只有两种情况：V=4，∴
的可能取值为
，故共有
条边，设过每一个顶点的棱数为
，∵
，∴
，它是形如足球的多面体，所以上述两种情，